Question

．（本小題滿分14分）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且截拋物線的準線所得弦長為，傾斜角為的直線過點.

   （Ⅰ）求該橢圓的方程；

   （Ⅱ）設橢圓的另一個焦點為，試求拋物線上一點，使得與關于直線對稱，求出點的坐標.

 

Answer 1

【答案】

（1）   ；

（2）拋物線上存在一點，使得與關于直線對稱.

【解析】(I)根據拋物線的方程可以求出橢圓的焦點坐標，進而求出c值.

再利用拋物線準線被橢圓截得的弦長為，可得交點坐標為,

然后代入橢圓方程再結合,解方程組即可.

(2)易求出直線l的方程，然后求出焦點F（-1，0）關于直線l的對稱點，根據對稱點在拋物線上.確定拋物線的方程.

解：（1）拋物線的焦點為，準線方程為，……………2分

  ∴       ①        …………………3分

又橢圓截拋物線的準線所得弦長為，  ∴  得上交點為，

∴     ②…………………4分

由①代入②得，解得或（舍去），

從而     …………………6分

∴   該橢圓的方程為該橢圓的方程為      …………………7分

（2）∵ 傾斜角為的直線過點，

∴ 直線的方程為，即，…………………8分

由（1）知橢圓的另一個焦點為，設與關于直線對稱，…9分

則得   ……10分  解得，即   

又滿足，故點在拋物線上.   …………………12分

所以拋物線上存在一點，使得與關于直線對稱.……13分