Question

9．雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，直線l過F₂且與雙曲線交于A、B兩點．
（1）若l的傾斜角為$\frac{π}{2}$，△F₁AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；
（2）設(shè)b=$\sqrt{3}$，若l的斜率存在，M為AB的中點，且$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{AB}$=0，求l的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用直線的傾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到雙曲線方程．
（2）求出左焦點的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，推出A、B坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為0，即可求值直線的斜率．

解答 解：（1）雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，a=1，c²=1+b²，
直線l過F₂且與雙曲線交于A，B兩點，
直線l的傾斜角為$\frac{π}{2}$，△F₁AB是等邊三角形，
可得：A（c，b²），可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}•2^{2}=2c$，
∴3b⁴=4（a²+b²），
即3b⁴-4b²-4=0，
b＞0，解得b²=2．
所求雙曲線方程為：x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
其漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x．
（2）b=$\sqrt{3}$，雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線的斜率為：k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
直線l的方程為：y=k（x-2），
由直線與雙曲線聯(lián)立消去y可得：（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
△=36（1+k²）＞0，
可得x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，
則y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=k（$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$-4）=$\frac{12k}{{k}^{2}-3}$．
M為AB的中點，且$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{AB}$=0，可得：（x₁+x₂+4，y₁+y₂）•（x₁-x₂，y₁-y₂）=0，
可得x₁+x₂+4+（y₁+y₂）k=0，
得 $\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$+4+$\frac{12k}{{k}^{2}-3}$•k=0
可得：k²=$\frac{3}{5}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
l的斜率為：±$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，平方差法以及直線與雙曲線方程聯(lián)立求解方法，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．