Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|，g（x）=-x²+6x-5．
（Ⅰ）用分段函數(shù)的形式表示g（x）-f（x），并求g（x）-f（x）的最大值；
（Ⅱ）若g（x）≥f（x），求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）分x≥1，x＜1可去掉絕對(duì)值，得到g（x）-f（x）的表達(dá)式，再考慮各段的最值，即可得到函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）討論x≥1時(shí)，x＜1時(shí)的g（x）≥f（x）的解集，注意運(yùn)用二次不等式的解法，最后再求并集．

解答： 解：（Ⅰ）g(x)-f(x)=(-x2+6x-5)-|x-1|=

-x2+5x-4 x≥1 -x2+7x-6 x＜1

，
則由于x＜1時(shí)，g（x）-f（x）＜0，x≥1時(shí)，g（x）-f（x）可取正數(shù)．
則有g(shù)（x）-f（x）的最大值在[1，4]上取得，
∴g（x）-f（x）=（-x²+6x+5）-（x-1）=-（x-

5

2

）²+

9

4

≤

9

4

∴當(dāng)x=

5

2

時(shí)，g（x）-f（x）取到最大值是

9

4

．             
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=x-1；
∵g（x）≥f（x），
∴-x²+6x-5≥x-1；                                        
整理，得（x-1）（x-4）≤0，
解得x∈[1，4]；                                         
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=1-x；
∵g（x）≥f（x），
∴-x²+6x-5≥1-x，
整理，得（x-1）（x-6）≤0，
解得x∈[1，6]，
又

x＜1 1≤x≤6

，所以不等式組無(wú)解                           
綜上，x的取值范圍是[1，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)及運(yùn)用，考查分段函數(shù)的最值和解不等式，注意各段的自變量的范圍，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．