Question

若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），其離心率為

1

2

，且過點（-1，

3

2

）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=-

1

2

x+m與橢圓交于A、B兩點，與以F₁F₂為直徑的圓交于C、D兩點，且滿足

|AB|

|CD|

=

5 3

4

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意可得

c a = 1 2 1 a2 + 9 4 b2 =1

，解出a，b即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）由題意可得以F₁F₂為直徑的圓的方程為x²+y²=1．利用點到直線的距離公式可得：圓心到直線l的距離d及d＜1，可得m的取值范圍．利用弦長公式可得|CD|=2

1-d2

=

2

5

•

5-4m2

．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，進而得到弦長|AB|=

1+ 1 4

•

m2-4(m2-3)

=

15

2

•

4-m2

．由足

|AB|

|CD|

=

5 3

4

，即可解得m，從而求直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得

c a = 1 2 1 a2 + 9 4 b2 =1

，
解得b=

3

，c=1，a=2．
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由題意可得以F₁F₂為直徑的圓的方程為x²+y²=1．
∴圓心到直線l的距離d=

2|m|

5

，
由d＜1，可得|m|＜

5

2

．（*）
∴|CD|=2

1-d2

=

2

5

•

5-4m2

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=- 1 2 x+m x2 4 + y2 3 =1

，化為x²-mx+m²-3=0，
可得x₁+x₂=m，x₁x₂=m²-3．
∴|AB|=

1+ 1 4

•

m2-4(m2-3)

=

15

2

•

4-m2

．
由

|AB|

|CD|

=

5 3

4

，得

4-m2 5-4m2

=1，
解得m=±

3

3

滿足（*）．
因此直線l的方程為y=-

1

2

x±

3

3

．

點評：本題中考查了橢圓與圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓及圓相交的弦長問題、點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．