精英家教網(wǎng)已知拋物線C的方程為x2=4y,直線y=2與拋物線C相交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)A,B在拋物線C上.
(Ⅰ)若∠BMN=∠AMN,求證:直線AB的斜率為
2
;
(Ⅱ)若直線AB的斜率為
2
,求證點(diǎn)N到直線MA,MB的距離相等.
分析:(Ⅰ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AM的斜率為k,由∠BMN=∠AMN,所以直線BM的斜率為-k,可求得M(-2
2
,2),N(2
2
,2)
,則直線AM的方程為y=k(x+2
2
)-2
,由此能夠證明直線AB的斜率為
2

(Ⅱ)若直線AB的斜率為
2
,由x1=4kAM+2
2
,x2=4kBM+2
2
,得
kAB=
y1-y2
x1-x2
=
x
2
1
4
-
x
2
2
4
x1-x2
=
x1+x2
4
=
4(kAM+kBM)+4
2
4
=
2
,由此能求出點(diǎn)N到直線MA,MB的距離相等.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AM的斜率為k,∵∠BMN=∠AMN,所以直線BM的斜率為-k,
可求得M(-2
2
,2),N(2
2
,2)
,則直線AM的方程為y=k(x+2
2
)-2

代入x2=4y得x2-4kx-8
2
k-8=0,∵xAx1=-8
2
k-8∴x1=4k+2
2
,
同理x2=-4k+2
2
,kAB=
y1-y2
x1-x2
=
x
2
1
4
-
x
2
2
4
x1-x2
=
x1+x2
4
=
2
.(5分)
(Ⅱ)若直線AB的斜率為
2
,由(1)可得:x1=4kAM+2
2
,x2=4kBM+2
2
,
∴kAB=
y1-y2
x1-x2
=
x
2
1
4
-
x
2
2
4
x1-x2
=
x1+x2
4
=
4(kAM+kBM)+4
2
4
=
2
,
∴kAM+kBM=0,
∴∠BMN=∠AMN,
故點(diǎn)N到直線MA,MB的距離相等.(10分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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已知拋物線C的方程為y=x2,過(0,1)點(diǎn)的直線l與C相交于點(diǎn)A,B,證明:OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))

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(2013•浙江模擬)已知拋物線C的方程為y2=2px(p>0),直線:x+y=m與x軸的交點(diǎn)在拋物線C準(zhǔn)線的右側(cè).
(Ⅰ)求證:直線與拋物線C恒有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(Ⅱ)已知定點(diǎn)A(1,0),若直線與拋物線C的交點(diǎn)為Q,R,滿足
AQ
AR
=0
,是否存在實(shí)數(shù)m,使得原點(diǎn)O到直線的距離不大于
2
4
,若存在,求出正實(shí)數(shù)p的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2011•合肥三模)已知拋物線C的方程為x2=2py(p>0),過拋物線上點(diǎn)M(-2
p
,p)作△MAB,A、B兩均在拋物線上.過M作x軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)N.
(I)若MN平分∠AMB,求證:直線AB的斜率為定值;
(II)若直線AB的斜率為
p
,且點(diǎn)N到直線MA,MB的距離的和為4p,試判斷△MAB的形狀,并證明你的結(jié)論.

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已知拋物線C的方程為x2=2py(p>0),焦點(diǎn)F為 (0,1),點(diǎn)P(x1,y1)是拋物線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線的切線交拋物線的準(zhǔn)線l于點(diǎn)A(s,t).
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若x1∈[1,4],求s的取值范圍.
(3)過點(diǎn)A作拋物線C的另一條切線AQ,其中Q(x2,y2)為切點(diǎn),試問直線PQ是否恒過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C的方程為y2=2px(p>0且p為常數(shù)),過焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2
①求證:4x1x2=p2
②若拋物線C的準(zhǔn)線l與x軸交于N點(diǎn)且AB⊥AN,求|x1-x2|

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