Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

lg|x-2|，x≠2 1，x=2

，若關(guān)于x的方程[f（x）]²+bf（x）+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，則f（x₁+x₂+x₃）=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題研究由根的個(gè)數(shù)及函數(shù)f（x）=

lg|x-2|，x≠2 1，x=2

的圖象特征研究關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃之間的關(guān)系，由三根之間的關(guān)系確定它們和的值，從而求出f（x₁+x₂+x₃）的值．

解答： 解：由題意f（x）=

lg|x-2|，x≠2 1，x=2

的圖象如下，
由圖知y=1與函數(shù)f（x）=

lg|x-2|，x≠2 1，x=2

有三個(gè)交點(diǎn)，
∵關(guān)于x的方程f²（x）+b f（x）+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，
∴①若關(guān)于f（x）的一元二次方程僅有一個(gè)根為f（x）=1，
由圖象知，此時(shí)關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
由于函數(shù)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，故此時(shí)有f（x₁+x₂+x₃）=f（6）=lg4=2lg2；
②若關(guān)于f（x）的一元二次方程僅有一個(gè)根不為f（x）=1，
由圖象知，此時(shí)關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，不滿足題意；
③若關(guān)于f（x）的一元二次方程有二個(gè)不同的根，
由圖象知，此時(shí)關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解或五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，不滿足題意．
由上討論知，f（x₁+x₂+x₃）=2lg2．
故答案為：2lg2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，解題的關(guān)鍵是作出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合一元二次方程根的情況判斷出三個(gè)根的關(guān)系，本題作出函數(shù)的圖象，考查了以形助數(shù)的思想，以圖象作輔助判斷的手段是函數(shù)中研究問(wèn)題時(shí)常采用的策略，要善于利用作圖工具作出標(biāo)準(zhǔn)的圖象．