Question

已知三次函數(shù)f（x）=

1

3

ax³-x²+x在（0，+∞）存在極大值點(diǎn)，則a的范圍是（　　）

• A、（0，1）
• B、（0，1]
• C、（-∞，0）
• D、（-∞，0）∪（0，1）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出f′（x）=ax²-2x+1，由題意得到f′（x）=0有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根或一正一負(fù)根，對(duì)a＞0，a＜0討論，列出等價(jià)條件別忘了△＞0且a≠0，再進(jìn)行求解．

解答： 解：f（x）=

1

3

ax³-x²+x的導(dǎo)數(shù)f′（x）=ax²-2x+1，
由于三次函數(shù)f（x）在（0，+∞）存在極大值點(diǎn)，
則f′（x）=0有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根或一正一負(fù)根，
①當(dāng)a＞0時(shí)，此時(shí)ax²-2x+1=0有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，
∴

△=4-4a＞0 2 a ＞0 1 a ＞0

，即0＜a＜1，
②當(dāng)a＜0時(shí)，此時(shí)3ax²-2x+1=0有一正一負(fù)根，
只須△＞0，即4-4a＞0，⇒a＜1，
∴a＜0；
綜上，則a的范圍是（-∞，0）∪（0，1）．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，以及極值的判斷，本題的易錯(cuò)點(diǎn)是容易忽略二次項(xiàng)的系數(shù)不為零．