如圖,線段AB過y軸上一點(diǎn)N(0,m),AB所在直線的斜率為k(k≠0),兩端點(diǎn)A、B到y(tǒng)軸的距離之差為4k.

(Ⅰ)求出以y軸為對(duì)稱軸,過A、O、B三點(diǎn)的拋物線方程;

(Ⅱ)過拋物線的焦點(diǎn)F作動(dòng)弦CD,過C、D兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為M,求點(diǎn)M的軌跡方程,并求出的值.

 

解:(Ⅰ)設(shè)AB所在直線方程為y=kx+m,拋物線方程為x2=2py,且A(x1,y1),B(x2,y2),

不妨設(shè)x1>0,x2<0 .∴|x1|-|x2|=4k  即x1+x2=4k把y=kx+m代入x2=2py得x2-2pkx-2pm=0

∴x1+x2=2pk  ∴2pk=4k ∴p=2故所求拋物線方程為x2=4y 

(Ⅱ)設(shè)C(x3,),D(x4,)

過拋物線上C、D兩點(diǎn)的切線方程分別是y=,y=

∴兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為()

設(shè)CD的直線方程為y=nx+1,代入x2=4y得x2-4nx-4=0

∴x3x4=-4  故M的坐標(biāo)為(,-1) 

故點(diǎn)M的軌跡為y=-1.

=(x3=(x4,)

·=x3x4+·-()+1=x3x4+1-()+1=-()-2

+(-1-1)2=

=-1

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,線段AB過y軸上一點(diǎn)N(0,m),AB所在直線的斜率為k(k≠0),兩端點(diǎn)A,B到y(tǒng)軸的距離之差為4k.
(1)求出以y軸為對(duì)稱軸,過A,O,B三點(diǎn)的拋物線方程;
(2)過拋物線的焦點(diǎn)F作動(dòng)弦CD,過C,D兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為M,求點(diǎn)M的軌跡方程,并求出
FC
FD
FM
2
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•揭陽二模)如圖,線段AB過y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)M(0,a),A、B兩點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的差為2k.
(Ⅰ)若AB所在的直線的斜率為k(k≠0),求以y軸為對(duì)稱軸,且過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)(1)中所確定的拋物線為C,點(diǎn)M是C的焦點(diǎn),若直線AB的傾斜角為60°,又點(diǎn)P在拋物線C上由A到B運(yùn)動(dòng),試求△PAB面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:湖北省模擬題 題型:解答題

如圖,線段AB過y軸上一點(diǎn) N(0,m),AB所在直線的斜率為k(k≠0),兩端點(diǎn)A,B到y(tǒng) 軸的距離之差為4k。
(1)求以y軸為對(duì)稱軸,過A,O,B三點(diǎn)的拋物線方程;
(2)過拋物線的焦點(diǎn)F作動(dòng)弦CD,過C,D兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為M,求點(diǎn)M的軌跡方程,并求的值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2007年廣東省揭陽市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,線段AB過y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)M(0,a),A、B兩點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的差為2k.
(Ⅰ)若AB所在的直線的斜率為k(k≠0),求以y軸為對(duì)稱軸,且過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)(1)中所確定的拋物線為C,點(diǎn)M是C的焦點(diǎn),若直線AB的傾斜角為60°,又點(diǎn)P在拋物線C上由A到B運(yùn)動(dòng),試求△PAB面積的最大值.

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