如圖，線段AB過y軸上一點(diǎn) N（0，m），AB所在直線的斜率為k（k≠0），兩端點(diǎn)A，B到y(tǒng) 軸的距離之差為4k。
（1）求以y軸為對(duì)稱軸，過A，O，B三點(diǎn)的拋物線方程；
（2）過拋物線的焦點(diǎn)F作動(dòng)弦CD，過C，D兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并求的值。
解：（1）依題意，設(shè)AB所在直線方程為y=kx+m，拋物線方程為x2=2py（p>0），
且A（x1，y1），B（x2，y2），
由題設(shè)知x1>0，x2＜0，
∴|x1|-|x2|=4k，即x1+x2=4k，
由消去y并整理，得x2-2pkx-2pm=0，
∴x1+x2=2pk=4k，
∴p=2
故所求拋物線方程為x2=4y。
（2）由（1）得，求導(dǎo)數(shù)得
設(shè)
則過拋物線上C，D兩點(diǎn)的切線方程分別為

即
聯(lián)立上述兩個(gè)方程，得
∴兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為
設(shè)CD所在直線方程為y=nx+1，代入x2=4y，得x2-4nx-4 =0
∴x3x4=-4，
∴M的坐標(biāo)為
故點(diǎn)M的軌跡方程為y=-1
又∵
∴

而
∴。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，線段AB過y軸上一點(diǎn)N（0，m），AB所在直線的斜率為k（k≠0），兩端點(diǎn)A，B到y(tǒng)軸的距離之差為4k．
（1）求出以y軸為對(duì)稱軸，過A，O，B三點(diǎn)的拋物線方程；
（2）過拋物線的焦點(diǎn)F作動(dòng)弦CD，過C，D兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并求出
FC
•
FD
FM
2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•揭陽(yáng)二模）如圖，線段AB過y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)M（0，a），A、B兩點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的差為2k．
（Ⅰ）若AB所在的直線的斜率為k（k≠0），求以y軸為對(duì)稱軸，且過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)（1）中所確定的拋物線為C，點(diǎn)M是C的焦點(diǎn)，若直線AB的傾斜角為60°，又點(diǎn)P在拋物線C上由A到B運(yùn)動(dòng)，試求△PAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，線段AB過y軸上一點(diǎn)N(0，m)，AB所在直線的斜率為k(k≠0)，兩端點(diǎn)A、B到y(tǒng)軸的距離之差為4k.

(Ⅰ)求出以y軸為對(duì)稱軸，過A、O、B三點(diǎn)的拋物線方程；

(Ⅱ)過拋物線的焦點(diǎn)F作動(dòng)弦CD，過C、D兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并求出的值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年廣東省揭陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，線段AB過y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)M（0，a），A、B兩點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的差為2k．
（Ⅰ）若AB所在的直線的斜率為k（k≠0），求以y軸為對(duì)稱軸，且過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)（1）中所確定的拋物線為C，點(diǎn)M是C的焦點(diǎn)，若直線AB的傾斜角為60°，又點(diǎn)P在拋物線C上由A到B運(yùn)動(dòng)，試求△PAB面積的最大值．

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