如圖,線段AB過y軸上一點(diǎn) N(0,m),AB所在直線的斜率為k(k≠0),兩端點(diǎn)A,B到y(tǒng) 軸的距離之差為4k。
(1)求以y軸為對(duì)稱軸,過A,O,B三點(diǎn)的拋物線方程;
(2)過拋物線的焦點(diǎn)F作動(dòng)弦CD,過C,D兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為M,求點(diǎn)M的軌跡方程,并求的值。
解:(1)依題意,設(shè)AB所在直線方程為y=kx+m,拋物線方程為x2=2py(p>0),
且A(x1,y1),B(x2,y2),
由題設(shè)知x1>0,x2<0,
∴|x1|-|x2|=4k,即x1+x2=4k,
消去y并整理,得x2-2pkx-2pm=0,
∴x1+x2=2pk=4k,
∴p=2
故所求拋物線方程為x2=4y。
(2)由(1)得,求導(dǎo)數(shù)得
設(shè)
則過拋物線上C,D兩點(diǎn)的切線方程分別為


聯(lián)立上述兩個(gè)方程,得
∴兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為
設(shè)CD所在直線方程為y=nx+1,代入x2=4y,得x2-4nx-4 =0
∴x3x4=-4,
∴M的坐標(biāo)為
故點(diǎn)M的軌跡方程為y=-1
又∵



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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,線段AB過y軸上一點(diǎn)N(0,m),AB所在直線的斜率為k(k≠0),兩端點(diǎn)A,B到y(tǒng)軸的距離之差為4k.
(1)求出以y軸為對(duì)稱軸,過A,O,B三點(diǎn)的拋物線方程;
(2)過拋物線的焦點(diǎn)F作動(dòng)弦CD,過C,D兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為M,求點(diǎn)M的軌跡方程,并求出
FC
FD
FM
2
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•揭陽(yáng)二模)如圖,線段AB過y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)M(0,a),A、B兩點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的差為2k.
(Ⅰ)若AB所在的直線的斜率為k(k≠0),求以y軸為對(duì)稱軸,且過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)(1)中所確定的拋物線為C,點(diǎn)M是C的焦點(diǎn),若直線AB的傾斜角為60°,又點(diǎn)P在拋物線C上由A到B運(yùn)動(dòng),試求△PAB面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,線段AB過y軸上一點(diǎn)N(0,m),AB所在直線的斜率為k(k≠0),兩端點(diǎn)A、B到y(tǒng)軸的距離之差為4k.

(Ⅰ)求出以y軸為對(duì)稱軸,過A、O、B三點(diǎn)的拋物線方程;

(Ⅱ)過拋物線的焦點(diǎn)F作動(dòng)弦CD,過C、D兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為M,求點(diǎn)M的軌跡方程,并求出的值.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2007年廣東省揭陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,線段AB過y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)M(0,a),A、B兩點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的差為2k.
(Ⅰ)若AB所在的直線的斜率為k(k≠0),求以y軸為對(duì)稱軸,且過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)(1)中所確定的拋物線為C,點(diǎn)M是C的焦點(diǎn),若直線AB的傾斜角為60°,又點(diǎn)P在拋物線C上由A到B運(yùn)動(dòng),試求△PAB面積的最大值.

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