Question

已知圓C經(jīng)過兩點(diǎn)，且在軸上截得的線段長(zhǎng)為，半徑小于5.（1）求直線與圓C的方程；（2）若直線，直線與圓C交于點(diǎn)A、B，且以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程.

 

Answer 1

（1）直線PQ：，圓C方程：

（2）直線或.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式求解所求的直線方程是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)待定系數(shù)法設(shè)出圓心坐標(biāo)和半徑，尋找未知數(shù)之間的關(guān)系是求圓的方程的關(guān)鍵，注意弦長(zhǎng)問題的處理方法；

（2）利用直線的平行關(guān)系設(shè)出直線的方程，利用設(shè)而不求的思想得到關(guān)于所求直線方程中未知數(shù)的方程，通過方程思想確定出所求的方程，注意對(duì)所求的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證和取舍．

試題解析：（1）直線PQ的方程為即直線PQ的方程為x+y-2=0，

C在PQ的中垂線即y=x-1上，

設(shè)C（n，n-1），則r2=|CQ|2=（n+1）2+（n-4）2，

由題意，有 ∴n2+12=2n2-6n+17，

∴n=1或5（舍去），r2=13或37（舍去），

∴圓C的方程為．

（2）設(shè)直線l的方程為x+y+m=0，由,消去y得2x2+（2m-2）x+m2-12=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=1-m，x1x2=

又∵以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)∠AOB=90°，∴x1x2+y1y2=0

∴，將韋達(dá)定理的結(jié)果代入并整理化間得m2+m-12=0，

∴m=3或-4（均滿足△＞0），

∴l(xiāng)的方程為x+y+3=0或x+y-4=0．

考點(diǎn)：1.直線方程；2．圓的方程；３．直線與圓的位置關(guān)系．