Question

6．如圖，在棱長(zhǎng)均為2的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)M是側(cè)棱AA₁的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是側(cè)面BCC₁B₁、底面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A₁P∥平面BCM，PQ⊥平面BCM，則點(diǎn)Q的軌跡的長(zhǎng)度為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知可得點(diǎn)Q的軌跡是過(guò)△MBC的重心，且與BC平行的線段，進(jìn)而根據(jù)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中棱長(zhǎng)均為2，可得答案．

解答 解：∵點(diǎn)P是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A₁P∥平面BCM，
則P點(diǎn)的軌跡是過(guò)A₁點(diǎn)與平面MBC平行的平面與側(cè)面BCC₁B₁的交線，
則P點(diǎn)的軌跡是連接側(cè)棱BB₁，CC₁中點(diǎn)的線段l，
∵Q是底面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PQ⊥平面BCM，
則點(diǎn)Q的軌跡是過(guò)l與平面MBC垂直的平面與平面MBC的線段m，

故線段m過(guò)△MBC的重心，且與BC平行，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中棱長(zhǎng)均為2，
故線段m的長(zhǎng)為：$\frac{2}{3}$×2=$\frac{4}{3}$，
故答案為：$\frac{4}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面之間的位置關(guān)系，棱柱的幾何特征，動(dòng)點(diǎn)的軌跡，難度中檔．