分析 (1)設(shè)P(x0,y0),則x202+y20=1.利用斜率計(jì)算公式與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得k1•k2為定植.
(2)設(shè)AB:y=k1(x+√2),A(x1,y1),B(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立化為:(2k21+1)x2+4√2k21x+4k21-4=0,△>0,|AB|=a+ex1+a+ex2=4(k21+1)2k21+1.同理可得:|MN|=4(k22+1)2k22+1.即可得出|AB|•|MN|取值范圍.
解答 (1)證明:由題意可得:F1(−√2,0),F(xiàn)2(√2,0),設(shè)P(x0,y0),則x202+y20=1.
∴k1•k2=y0x0+√2•y0x0−√2=y20x20−2=12×2−x20x20−2=-12為定植.
(2)解:設(shè)AB:y=k1(x+√2),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立{y=k1(x+√2)x2+2y2=4,
化為:(2k21+1)x2+4√2k21x+4k21-4=0,△>0,可得k1∈R,x1+x2=−4√2k212k21+1,
x1•x2=|AB|=a+ex1+a+ex2=4-√22×4√2k212k21+1=4(k21+1)2k21+1.同理可得:|MN|=4(k22+1)2k22+1.
∴|AB|•|MN|=4(k21+1)2k21+1×4(k22+1)2k22+1=8+21+(k21+k22).
令u=1+(k21+k22)=1+k21+14k21≥1+2√k21×14k21=2,當(dāng)且僅當(dāng)k21=12時(shí)取等號(hào).
∴∴|AB|•|MN|=8+2u∈(8,9].
點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的第二定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [1,2] | B. | (1,+∞) | C. | (1,2] | D. | [0,+∞) |
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A. | \frac{3}{5} | B. | \frac{4}{5} | C. | -\frac{3}{5} | D. | -\frac{4}{5} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{7}{2} | B. | \frac{37}{33} | C. | \frac{10}{11} | D. | \frac{67}{66} |
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