Question

已知f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

．
（1）求f（

1

2014

）+f（-

1

2014

）的值；
（2）當x∈（-a，a]（其中a∈（-1，1）且a為常數(shù)）時，f（x）是否存在最小值？如果存在，求函數(shù)最小值；若果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用函數(shù)的解析式代入數(shù)值求解即可．
（2）設-1＜x₁＜x₂＜1，利用作差、因式分解、判斷符號的方法，證出f（x）為（-1，1）上的減函數(shù)．因此，當a∈（0，1），且a為常數(shù)時，f（x）在區(qū)間（-a，a]的最小值為f（a）=-a+log₂ 

1-a

1+a

．

解答： 解：（1）f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

．
f（

1

2014

）+f（-

1

2014

）=-

1

2014

+log₂

1- 1 2014

1+ 1 2014

+

1

2014

+log₂

1+ 1 2014

1- 1 2014

=log₂1=0．
（2）設-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x₁）-f（x₂）
=-x₁+log₂

1-x1

1+x1

-（-x₂+log₂

1-x2

1+x2

）
=（x₂-x₁）+log₂

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

，
且x₂-x₁＞0，

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1
∴l(xiāng)og₂

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0，
可得f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂），
由此可得f（x）為（-1，1）上的減函數(shù)，
∴當x∈（-a，a]（其中a∈（0，1），且a為常數(shù)）時，
函數(shù)有最小值為f（a）=-a+log₂

1-a

1+a

點評：本題給出含有對數(shù)符號的基本初等函數(shù)，求特殊的函數(shù)值并討論函數(shù)在區(qū)間（-a，a]上的最小值，著重考查了函數(shù)的奇偶性、單調性及其應用的知識點，屬于中檔題．