Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M為PB的中點(diǎn)，N在BC上，且BN=

1

3

BC．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）求平面MAN與平面PAN的夾角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出△NBA∽△ABC，取AB中點(diǎn)Q，連接MQ、NQ，推導(dǎo)出AB⊥平面MNQ，由此能證明AB⊥MN；
（2）過B作BD∥AC，交AN延長線于D，連PD，分別取PD、AD中點(diǎn)E、F，連ME，EF，MF，可得∠EFM是所求兩面角的平面角，即可求平面MAN與平面PAN的夾角的余弦值．

解答： （1）證明：設(shè)AB=AC=AP=1，又∠BAC=120°，
∴在△ABC中，BC²=1+1-2×1×1×cos120°=3，
∴BC=

3

，
∴BN=

3

3

，
∴

AB

BC

=

BN

AB

，
又∠ABC=∠NBA，∴△NBA∽△ABC，
且△NBA也為等腰三角形．
取AB中點(diǎn)Q，連接MQ、NQ，∴NQ⊥AB，MQ∥PAQ，
∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，∴MQ⊥AB，
∴AB⊥平面MNQ，
又MN?平面MNQ，∴AB⊥MN；
（2）解：過B作BD∥AC，交AN延長線于D，連PD，分別取PD、AD中點(diǎn)E、F，連ME，EF，MF，
由CA⊥面PAD，BD∥AC∥ME，PA⊥AN，EF∥PA，則ME⊥面PAD，EF⊥AN，
且MF⊥AN，∴∠EFM是所求兩面角的平面角．
BD=

1

2

AC=

1

2

，ME=

1

2

BD=

1

4

，EF=

1

2

PA=

1

2

，MF=

5

4

，
∴cos∠EFM=

2 5

5

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的求法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．