【題目】若動點到定點
與定直線
的距離之和為4.
(1)求點的軌跡方程,并畫出方程的曲線草圖;
(2)記(1)得到的軌跡為曲線,問曲線
上關于點
(
)對稱的不同點有幾對?請說明理由.
【答案】(1);作圖見解析;(2)答案不唯一,具體見解析.
【解析】
(1)設,由題意
,分類討論,可得點
的軌跡方程,并畫出方程的曲線草圖;
(2)當或
顯然不存在符合題意的對稱點,當
時,注意到曲線
關于
軸對稱,至少存在一對(關于
軸對稱的)對稱點,再研究曲線
上關于
對稱但不關于
軸對稱的對稱點即可.
解:(1)設,由題意
①:當時,有
,
化簡得:
②:當時,有
,
化簡得:(二次函數(shù))
綜上所述:點的軌跡方程為
(如圖):
(2)當或
顯然不存在符合題意的對稱點,
當時,注意到曲線
關于
軸對稱,至少存在一對(關于
軸對稱的)對稱點.
下面研究曲線上關于
對稱但不關于
軸對稱的對稱點
設是軌跡
上任意一點,
則,
它關于的對稱點為
,
由于點在軌跡
上,
所以,
聯(lián)立方程組(*)得
,
化簡得
①當時,
,此時方程組(*)有兩解,
即增加有兩組對稱點.
②當時,
,此時方程組(*)只有一組解,
即增加一組對稱點.(注:對稱點為,
)
③
當時,
,此時方程組(*)有兩解為
,
,
沒有增加新的對稱點.
綜上所述:記對稱點的對數(shù)為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,對于點
、直線
,我們稱
為點
到直線
的方向距離.
(1)設橢圓上的任意一點
到直線
,
的方向距離分別為
、
,求
的取值范圍.
(2)設點、
到直線
的方向距離分別為
、
,試問是否存在實數(shù)
,對任意的
都有
成立?若存在,求出
的值;不存在,說明理由.
(3)已知直線和橢圓
,設橢圓
的兩個焦點
,
到直線
的方向距離分別為
、
滿足
,且直線
與
軸的交點為
、與
軸的交點為
,試比較
的長與
的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了更好地支持“中小型企業(yè)”的發(fā)展,某市決定對部分企業(yè)的稅收進行適當?shù)臏p免,某機構(gòu)調(diào)查了當?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入情況,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖,下面三個結(jié)論:
①樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為0.45;
②如果規(guī)定年收入在500萬元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅政策,估計有55%的當?shù)刂行⌒推髽I(yè)能享受到減免稅政策;
③樣本的中位數(shù)為480萬元.
其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設橢圓,定義橢圓C的“相關圓”E為:
.若拋物線
的焦點與橢圓C的右焦點重合,且橢圓C的短軸長與焦距相等.
(1)求橢圓C及其“相關圓”E的方程;
(2)過“相關圓”E上任意一點P作其切線l,若l 與橢圓交于A,B兩點,求證:
為定值(
為坐標原點);
(3)在(2)的條件下,求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在極坐標系中,已知點M,N的極坐標分別為,直線l的方程為
.
(1)求以線段MN為直徑的圓C的極坐標方程;
(2)求直線l被(1)中的圓C所截得的弦長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)是否存在實數(shù),使函數(shù)
的極值大于
?若存在,求
的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】冬季歷來是交通事故多發(fā)期,面臨著貨運高危運行、惡劣天氣頻發(fā)、包車客運監(jiān)管漏洞和農(nóng)村交通繁忙等四個方面的挑戰(zhàn).全國公安交管部門要認清形勢、正視問題,針對近期事故暴露出來的問題,強薄羽、補短板、堵漏洞,進一步推動五大行動,鞏固擴大五大行動成果,全力確保冬季交通安全形勢穩(wěn)定.據(jù)此,某網(wǎng)站推出了關于交通道路安全情況的調(diào)查,通過調(diào)查年齡在的人群,數(shù)據(jù)表明,交通道路安全仍是百姓最為關心的熱點,參與調(diào)查者中關注此類問題的約占80%,現(xiàn)從參與調(diào)查并關注交通道路安全的人群中隨機選出100人,并將這100人按年齡分組:第1組
,第2組
,第3組
,第4組
,第5組
,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求這100人年齡的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)和中位數(shù)(精確到小數(shù)點后一位);
(2)現(xiàn)在要從年齡較大的第4,5組中用分層抽樣的方法抽取8人,再從這8人中隨機抽取3人進行問卷調(diào)查,求第4組恰好抽到2人的概率;
(3)若從所有參與調(diào)查的人(人數(shù)很多)中任意選出3人,設其中關注交通道路安全的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列與數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標原點,且經(jīng)過點
,它的一個焦點與拋物線E:
的焦點重合,斜率為k的直線l交拋物線E于A、B兩點,交橢圓
于C、D兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線l經(jīng)過點,設點
,且
的面積為
,求k的值;
(3)若直線l過點,設直線
,
的斜率分別為
,
,且
,
,
成等差數(shù)列,求直線l的方程.
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