Question

一元三次函數(shù)f（x）的三次項系數(shù)為

a

3

，f′（x）+9x＜0的解集為（1，2），
（1）若f′（x）+7a=0，求f′（x）的解析式；
（2）若f（x）在R上單調(diào)增，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)一元三次函數(shù)f（x）的三次項系數(shù)為

a

3

假設出解析式，然后對函數(shù)f（x）進行求導，根據(jù)f’（x）+9a＜0的解集為（1，2）可用a表示出b，c的關系式，最后由f′（x）+7a=0求出a的范圍，進而得到函數(shù)f′（x）的解析式．
（2）由f（x）在R上單調(diào)增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關系可判斷f'（x）≥0在R上恒成立，進而求出a的范圍．

解答：解解：∵一元三次函數(shù)f（x）的三次項系數(shù)為

a

3

，
設f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d，∴f'（x）=ax²+2bx+c
∵f′（x）+9x=ax²+2bx+c+9x＜0的解集為（1，2），
∴f′（x）+9x=ax²+2bx+c+9x=a（x-1）（x-2）＜0
b=-

9+3a

2

，c=2a（a＞0）
（1）由上f'（x）+7a=ax²-（9+3a）x+9a=0成立
∴△=（9+3a）²-36a²≥0
∴-1≤a≤3又因為a＞0∴0＜a≤3
∴f′（x）=ax²-（9+3a）x+2a（0＜a≤3）
（2）∵f（x）在R上單調(diào)增，
∴f'（x）=ax²-（9+3a）x+2a≥0在R上恒成立
∴△=（9+3a）²-8a²=a²+54a+81≤0
∴-27-18

2

 ≤a≤-27+18

2

又因為a＞0∴0＜a≤-27+18

2

點評：本題主要考查函數(shù)的求導運算和函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．