Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，將矩形沿對角線BD把△ABD折起，使A移到A1點，且A1在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A1O⊥平面DBC．

（Ⅰ）求證：BC⊥A1D；

（Ⅱ）求證：平面A1BC⊥平面A1BD；

（Ⅲ）求點C到平面A1BD的距離．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）．

【解析】

試題（Ⅰ）由線面垂直得A1O⊥BC，再由BC⊥DC，能證明BC⊥A1D．

（Ⅱ）由BC⊥A1D，A1D⊥A1B，得A1D⊥平面A1BC，由此能證明平面A1BC⊥平面A1BD．

（Ⅲ）由=，能求出點C到平面A1BD的距離．

證明：（Ⅰ）∵A1O⊥平面DBC，∴A1O⊥BC，

又∵BC⊥DC，A1O∩DC=O，

∴BC⊥平面A1DC，∴BC⊥A1D．

（Ⅱ）∵BC⊥A1D，A1D⊥A1B，BC∩A1B=B，

∴A1D⊥平面A1BC，

又∵A1D平面A1BD，

∴平面A1BC⊥平面A1BD．

解：（Ⅲ）設(shè)C到平面A1BD的距離為h，

∵=，

∴=，

又∵=S△DBC，，∴．

∴點C到平面A1BD的距離為．