Question

如圖所示是三項式系數(shù)表排成的三角形，它的特點是每行各數(shù)是它肩上三個數(shù)之和（肩上無數(shù)視為零），每行首尾都是1，則
（Ⅰ）表中第10行第3個數(shù)是

 

；
（Ⅱ）表中前n行的各數(shù)之和是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,進(jìn)行簡單的合情推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）觀察三項式系數(shù)表排成的三角形知第10行的第3個數(shù)是：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．
（Ⅱ）觀察三項式系數(shù)表排成的三角形知第n行各項和為3^n-1，由此能求出表中前n行的各數(shù)之和．

解答： 解：（Ⅰ）觀察三項式系數(shù)表排成的三角形知：
第1行的第3個數(shù)是0，
第2行的第3個數(shù)是1，
第3行的第3個數(shù)是3=1+2，
第4行的第3個數(shù)是6=1+2+3，
第5行的第3個數(shù)是10=1+2+3+4，
…
∴第10行的第3個數(shù)是：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．
（Ⅱ）觀察三項式系數(shù)表排成的三角形知：
第1行各項和為1=3⁰，
第2行各項和為3=3¹，
第3行各項和為9=3²，
第4行各項和為27=3³，
第5行各項和為81=3⁴，
…
∴第n行各項和為3^n-1，
∴表中前n行的各數(shù)之和是：
3⁰+3+3²+…+3^n-1=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

．
故答案為：45，

3n-1

2

．

點評：本題考查表中第10行第3個數(shù)的求法，考查表中前n行的各數(shù)之和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意總結(jié)規(guī)律．