Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N⁺）．證明數(shù)列{log₂（a_n+1）}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得a_n+1+1=a_n²+2a_n+1=（a_n+1）²，從而log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1），由此能證明數(shù)列{log₂（a_n+1）}為首項為log₂3，公比為2的等比數(shù)列，從而能求出a_n．

解答： 證明：∵a_n+1=a_n²+2a_n，
∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1=（a_n+1）²，
∴l(xiāng)og₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1）=2log₂（a_n+1），
∴

log2(an+1+1)

log2(an+1)

=2，
又log₂（a₁+1）=log₂3，
∴數(shù)列{log₂（a_n+1）}為首項為log₂3，公比為2的等比數(shù)列．
∴l(xiāng)og₂（a_n+1）=2^n-1•log₂3．
∴a_n+1=2(log23)•2n-1，
∴a_n=2(log23)•2n-1-1
=32n-1-1．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的證明，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．