【題目】函數(shù)的定義域為，并滿足以下條件：①對任意，有；②對任意，有；③.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求證：在上是單調(diào)增函數(shù)；

（Ⅲ）若，且，求證：.

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）利用賦值法即可求出的值；

（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可證明；

或者構造函數(shù)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明；

（3）構造基本不等式的模型，利用不等式性質(zhì)即可證明．

解法一：

(Ⅰ)令得：

因為，所以；

（Ⅱ）任取且設則

因為，所以，

所以在上是單調(diào)增函數(shù)；

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，因為

又，

所以

所以

解法二：

(Ⅰ)因為對任意，有，且對任意，

所以，當時

故．

（Ⅱ）因為，所以

所以在上是單調(diào)增函數(shù)，即在上是單調(diào)增函數(shù)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

而，所以

所以

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓規(guī)是用來畫橢圓的一種器械，它的構造如圖所示，在一個十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導槽，在直尺上有兩個固定的滑塊A，B，它們可分別在縱槽和橫槽中滑動，在直尺上的點M處用套管裝上鉛筆，使直尺轉(zhuǎn)動一周，則點M的軌跡C是一個橢圓，其中|MA|＝2，|MB|＝1，如圖，以兩條導槽的交點為原點O，橫槽所在直線為x軸，建立直角坐標系.

（1）將以射線Bx為始邊，射線BM為終邊的角xBM記為φ（0≤φ＜2π），用表示點M的坐標，并求出C的普通方程；

（2）已知過C的左焦點F，且傾斜角為α（0≤α）的直線l1與C交于D，E兩點，過點F且垂直于l1的直線l2與C交于G，H兩點.當，|GH|，依次成等差數(shù)列時，求直線l2的普通方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】全國文明城市是中國所有城市品牌中含金量最高、創(chuàng)建難度最大的一個，是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，是目前國內(nèi)城市綜合類評比中的最高榮譽，也是最具價值的城市品牌，作為普通市民，既是城市文明的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者，皖北某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取400份試卷作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：后得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）求樣本的平均數(shù)；

（Ⅱ）現(xiàn)從該樣本成績在與兩個分數(shù)段內(nèi)的市民中按分層抽樣選取6人，求從這6人中隨機選取2人，且2人的競賽成績之差的絕對值大于20的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司為了對某種商品進行合理定價，需了解該商品的月銷售量（單位：萬件）與月銷售單價（單位：元/件）之間的關系，對近個月的月銷售量和月銷售單價數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計分析，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示：

月銷售單價（元/件）

月銷售量（萬件）

（1）若用線性回歸模型擬合與之間的關系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位實習員工求得回歸直線方程分別為：，和，其中有且僅有一位實習員工的計算結果是正確的．請結合統(tǒng)計學的相關知識，判斷哪位實習員工的計算結果是正確的，并說明理由；

（2）若用模型擬合與之間的關系，可得回歸方程為，經(jīng)計算該模型和（1）中正確的線性回歸模型的相關指數(shù)分別為和，請用說明哪個回歸模型的擬合效果更好；

（3）已知該商品的月銷售額為（單位：萬元），利用（2）中的結果回答問題：當月銷售單價為何值時，商品的月銷售額預報值最大？（精確到）

參考數(shù)據(jù)：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓左、右焦點分別為，，離心率為，兩準線間距離為8，圓O的直徑為，直線l與圓O相切于第四象限點T，與y軸交于M點，與橢圓C交于點N（N點在T點上方），且．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求直線l的方程；

（3）求直線l上滿足到，距離之和為的所有點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】斐波拉契數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在數(shù)學上，斐波拉契數(shù)列{an}定義如下：a1＝a2＝1，an＝an﹣1+an﹣2（n≥3，n∈N），隨著n的增大，越來越逼近黃金分割0.618，故此數(shù)列也稱黃金分割數(shù)列，而以an+1、an為長和寬的長方形稱為“最美長方形”，已知某“最美長方形”的面積約為200平方厘米，則該長方形的長大約是（ ）

A.20厘米B.19厘米C.18厘米D.17厘米

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝（x﹣1）2﹣alnx（a＜0）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2（x1＜x2），且關于x的方程f（x）＝b（b∈R）恰有三個實數(shù)根x3，x4，x5（x3＜x4＜x5），求證：2（x2﹣x1）＞x5﹣x3.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：（）的焦點為F，過F且斜率為1的直線與C交于A，B兩點，.

（1）求C的方程；

（2）過點的直線l交C于點M，N，點Q為的中點，軸交C于點R，且，證明：動點T在定直線上.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為調(diào)查中學生平均每人每天參加體育鍛煉的時間（單位：），按鍛煉時間分下列四種情況統(tǒng)計：（1）；（2）；（3）；（4）以上，有10000名中學生參加了此項活動，下圖是此次調(diào)查中某一項的流程圖，若平均每天參加體育鍛煉的時間在的學生頻率是0.15，則輸出的結果為________．

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