Question

【題目】已知拋物線(xiàn)C：（）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，.

（1）求C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交C于點(diǎn)M，N，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，軸交C于點(diǎn)R，且，證明：動(dòng)點(diǎn)T在定直線(xiàn)上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理逐步求出、，再利用弦長(zhǎng)公式即可求得p，從而得出拋物線(xiàn)方程；（2）設(shè)l方程為，聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程得到關(guān)于x的二次方程，利用韋達(dá)定理用k表示出、，即可逐步求出點(diǎn)Q、點(diǎn)R的坐標(biāo)，由可求出T點(diǎn)的坐標(biāo)，消去k即可求得點(diǎn)T所在定直線(xiàn).

（1）設(shè)，，

因?yàn)?/span>，所以過(guò)F且斜率為1的直線(xiàn)方程為，

代入，得，

所以，

，

所以，解得，

所以C方程為.

（2）證明：因?yàn)橹本�(xiàn)l斜率k存在，設(shè)l方程為，

設(shè)，，，

聯(lián)立

消y得，

所以，，，

所以，，

即，

由點(diǎn)R在曲線(xiàn)E上且軸，，得，R為的中點(diǎn)，

所以T為，

因?yàn)?/span>，所以T在定直線(xiàn)上.

解法二：（1）同解法一

（2）設(shè)，，，

由，作差得，

所以，

設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，

所以直線(xiàn)的斜率，又因?yàn)?/span>，

所以，所以，

因?yàn)辄c(diǎn)R為的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)辄c(diǎn)R在C上，代入得，即，

所以T在定直線(xiàn)上.