Question

【題目】已知0＜m＜2,動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1（﹣m,0）,F2（m,0）的距離之和為4,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C,若曲線C過點(diǎn).

（1）求m的值以及曲線C的方程；

（2）過定點(diǎn)且斜率不為零的直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn).證明：以AB為直徑的圓過曲線C的右頂點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）, ；（2）證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的定義可知曲線C是以兩定點(diǎn)F1,F2為焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓,再代入點(diǎn)求得橢圓中的基本量即可.

(2)設(shè)直線,再聯(lián)立橢圓的方程,得出韋達(dá)定理,代入進(jìn)行計(jì)算可得證明即可.

（1）解：設(shè)M（x,y）,因?yàn)閨MF1|+|MF2|=4＞2m,所以曲線C是以兩定點(diǎn)F1,F2為焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓,所以a=2.

設(shè)橢圓C的方程為1（b＞0）,代入點(diǎn)得b2=1,

由c2=a2﹣b2,得c2=3,

所以,故曲線C的方程為；

（2）證明：設(shè)直線l：x=ty,A（x1,y1）,B（x2,y2）,

橢圓的右頂點(diǎn)為P（2,0）,聯(lián)立方程組

消去x得0.

△＞0,y1+y2,y1y2,

所以 ,∴,

故點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上,即以AB為直徑的圓過曲線C的右頂點(diǎn).