Question

11．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{2}{3}}}$（x²-2x-3），給定區(qū)間E，對(duì)任意x₁，x₂∈E，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，總有f（x₁）＜f（x₂），則下列區(qū)間可作為E的是（　�。�

• A． （-3，-1）
• B． （-1，0）
• C． （1，2）
• D． （3，6）

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法求出函數(shù)f（x）的減區(qū)間，由題意知區(qū)間E為f（x）減區(qū)間的子集，據(jù)此可得答案．

解答 解：給定區(qū)間E，對(duì)任意x₁，x₂∈E，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，總有f（x₁）＜f（x₂），函數(shù)是增函數(shù)．
由x²-2x-3＞0解得x＜-1或x＞3，
所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（3，+∞），
因?yàn)閥=$lo{g}_{\frac{2}{3}}x$遞減函數(shù)，而t=x²-2x-3在（-∞，-1）上遞減，在（3，+∞）上遞增，
所以函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-∞，-1），增區(qū)間為（3，+∞），
由題意知，函數(shù)f（x）在區(qū)間E上單調(diào)遞增，則E⊆（-∞，-1），
而（-3，-1）⊆（-∞，-1），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的方法是：“同增異減”，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解區(qū)間E的意義．