如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M、N分別是A1B、B1C1的中點.

(Ⅰ)求證:MN⊥平面A1BC;

(Ⅱ)求直線BC1和平面A1BC所成角的大小.

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解法一:(Ⅰ)由已知BC⊥AC,BC⊥CC1

所以BC⊥平面ACC1A1.連結(jié)AC1,則BC⊥AC1.                                   (2分)

由已知,側(cè)面ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1.                                                  (3分)

,所以AC1⊥平面A1BC.                                       (4分)

因為側(cè)面ABB1A1是正方形,M是A1B的中點,連結(jié)AB1,則點M是AB1的中點.     (5分)

又點N是B1C1的中點,則MN是△AB1C1的中位線,所以MN∥AC1.  

故MN⊥平面A1BC.                                                           (6分)

(Ⅱ)因為AC1⊥平面A1BC,設(shè)AC1與A1C相交于點D,

連結(jié)BD,則∠C1BD為直線BC1和平面A1BC所成角.                               (9分)

設(shè)AC=BC=CC1a,則.                             (10分)

在Rt△BDC1中,sin∠C1BD=,                                       (11分)

所以∠C1BD=30º,故直線BC1和平面A1BC所成的角為30º.                     (12分)

解法二:(Ⅰ)據(jù)題意CA、CB、CC1兩兩垂直,以C為原點,

CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間

直角坐標(biāo)系,如圖.                                                            (2分)

設(shè)AC=BC=CC1a,則

,

,.                                           (4分)

所以,,.                         (5分)

于是,,即MN⊥BA1,MN⊥CA1.                      (6分)

,故MN⊥平面A1BC.                                         (7分)

(Ⅱ)因為MN⊥平面A1BC,則為平面A1BC的法向量,又,  (9分)

,所以.    (11分)

故直線BC1和平面A1BC所成的角為30º.                                        (12分)

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年四川省招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題

 

 (本小題共l2分)

    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年高考試題數(shù)學(xué)理(四川卷)解析版 題型:解答題

 (本小題共l2分)

    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

 

 

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:四川省高考真題 題型:解答題

如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中,∠ BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA。
(I)求證:CD=C1D;
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案