如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M、N分別是A1B、B1C1的中點.
(Ⅰ)求證:MN⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求直線BC1和平面A1BC所成角的大小.
解法一:(Ⅰ)由已知BC⊥AC,BC⊥CC1,
所以BC⊥平面ACC1A1.連結AC1,則BC⊥AC1. (2分)
由已知,側面ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1. (3分)
又,所以AC1⊥平面A1BC.
(4分)
因為側面ABB1A1是正方形,M是A1B的中點,連結AB1,則點M是AB1的中點. (5分)
又點N是B1C1的中點,則MN是△AB1C1的中位線,所以MN∥AC1.
故MN⊥平面A1BC.
(6分)
(Ⅱ)因為AC1⊥平面A1BC,設AC1與A1C相交于點D,
連結BD,則∠C1BD為直線BC1和平面A1BC所成角. (9分)
設AC=BC=CC1=a,則,
.
(10分)
在Rt△BDC1中,sin∠C1BD=,
(11分)
所以∠C1BD=30º,故直線BC1和平面A1BC所成的角為30º. (12分)
解法二:(Ⅰ)據(jù)題意CA、CB、CC1兩兩垂直,以C為原點,
CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間
直角坐標系,如圖. (2分)
設AC=BC=CC1=a,則
,
,
.
(4分)
所以,
,
.
(5分)
于是,
,即MN⊥BA1,MN⊥CA1.
(6分)
又,故MN⊥平面A1BC.
(7分)
(Ⅱ)因為MN⊥平面A1BC,則為平面A1BC的法向量,又
, (9分)
則,所以
. (11分)
故直線BC1和平面A1BC所成的角為30º. (12分)
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011年四川省招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題共l2分)
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[來源:]
P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011年高考試題數(shù)學理(四川卷)解析版 題型:解答題
(本小題共l2分)
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一
P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源:四川省高考真題 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.
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