Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中點(diǎn)，那么（-）•=________；若E是AB的中點(diǎn)，P是△ABC（包括邊界）內(nèi)任一點(diǎn)．則的取值范圍是________．

Answer 1

2    [-9，9]
分析：由條件可得 =，故==，由此求得的值．以CA所在的直線為x軸，以CB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用簡單的線性規(guī)劃求得t=的取值范圍．
解答：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中點(diǎn)，那么 =，=+=16+4=20．
∴====2．
以CA所在的直線為x軸，以CB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A的坐標(biāo)為（4，0），B的坐標(biāo)為（0，2），
由線段的中點(diǎn)公式可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
則由題意可得可行域?yàn)椤鰽BC及其內(nèi)部區(qū)域，故有 ．
令t==（-4，1）•（x-2，y-1）=7-4x+y，即 y=4x+t-7．
故當(dāng)直線y=4x+t-7過點(diǎn)A（4，0）時(shí)，t取得最小值為7-16+0=-9，
當(dāng)直線y=4x+t-7過點(diǎn)B（0，2）時(shí)，t取得最大值為 7-0+2=9，
故t=的取值范圍是[-9，9]，
故答案為 2，[-9，9]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算，線段的中點(diǎn)公式，簡單的線性規(guī)劃問題，屬于中檔題．