【題目】已知橢圓的短軸長為2,離心率為,,分別是橢圓的右頂點和下頂點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知是橢圓內一點,直線與的斜率之積為,直線分別交橢圓于兩點,記,的面積分別為,.
①若兩點關于軸對稱,求直線的斜率;
②證明:.
【答案】(1);(2)①;②詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)短軸長得,再根據(jù)離心率以及的關系式可解得,從而可求得橢圓的標準方程;
(2)①設出的斜率,寫出的方程與橢圓聯(lián)立解出的坐標,再根據(jù)的斜率關系得的斜率和方程與橢圓聯(lián)立解出的坐標,根據(jù),關于軸對稱,列式可求得;
②用的方程聯(lián)立解得的坐標,通過兩點間的距離算得,只要證明,就可證明.
(1)橢圓的短軸長為,離心率為,
所以,,
解得.
所以橢圓方程為.
(2)
①設直線的斜率為,則直線的方程為,
聯(lián)立,消去并化簡得,
解得,所以.
因為直線的斜率乘積為,所以直線的方程為,
聯(lián)立,消去并化簡得,
解得,所以.
因為關于軸對稱,所以,
即,解得.
當時,由,解得,在橢圓外,不滿足題意.
所以直線的斜率為.
②由①得,,,
由,解得.
即.
所以,
,
.
同理利用兩點間的距離公式求得,
,
所以.
所以,
因為,所以
.
即.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校高二年級舉行了由全體學生參加的一分鐘跳繩比賽,計分規(guī)則如下表:
每分鐘跳繩個數(shù) | |||||
得分 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
年級組為了解學生的體質,隨機抽取了100名學生的跳繩個數(shù)作為一個樣本,繪制了如下樣本頻率分布直方圖.
(1)現(xiàn)從樣本的100名學生跳繩個數(shù)中,任意抽取2人的跳繩個數(shù),求兩人得分之和小于35分的概率;(用最簡分數(shù)表示)
(2)若該校高二年級共有2000名學生,所有學生的一分鐘跳繩個數(shù)近似服從正態(tài)分布,其中,為樣本平均數(shù)的估計值(同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點值作代表).利用所得的正態(tài)分布模型,解決以下問題:
(i)估計每分鐘跳繩164個以上的人數(shù)(結果四舍五入到整數(shù));
(ii)若在全年級所有學生中隨機抽取3人,每分鐘跳繩在179個以上的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望與方差.
附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則,,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線是由兩個定點和點的距離之積等于的所有點組成的,對于曲線,有下列四個結論:①曲線是軸對稱圖形;②曲線上所有的點都在單位圓內;③曲線是中心對稱圖形;④曲線上所有點的縱坐標.其中,所有正確結論的序號是______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左頂點為,左、右焦點分別為,離心率為,是橢圓上的一個動點(不與左、右頂點重合),且的周長為6,點關于原點的對稱點為,直線交于點.
(1)求橢圓方程;
(2)若直線與橢圓交于另一點,且,求點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,平面,,點分別為的中點.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2,焦距為2c,若直線y=(x+c)與橢圓交于M點,且滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則橢圓的離心率是 ( )
A. B. -1 C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若對任意,都有成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若存在,使成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若對任意,都有成立,求實數(shù)的取值范圍.
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