Question

8．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x≥0時，f（x）=x³，若不等式f（-4t）＞f（2m+mt²）對任意實數(shù)t恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\sqrt{2}$）
• B． （-$\sqrt{2}$，0）
• C． （-∞，0）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 依題意，可求得奇函數(shù)f（x）=x³，且為R上的增函數(shù)，故可將不等式f（-4t）＞f（2m+mt²）對任意實數(shù)t恒成立轉(zhuǎn)化為-4t＞2m+mt²對任意實數(shù)t恒成立，即mt²對+4t+2m＜0對任意實數(shù)t恒成立，解之即可．

解答 解：∵當(dāng)x≥0時，f（x）=x³，①
∴當(dāng)x＜0時，-x＞0，
f（-x）=（-x）³=-x³，
又f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，
∴-f（x）=-x³，
∴f（x）=x³（x＜0），②
綜合①②知，f（x）=x³，x∈R．
又f′（x）=3x²≥0，
∴f（x）=x³為R上的增函數(shù)，
∴不等式f（-4t）＞f（2m+mt²）對任意實數(shù)t恒成立?-4t＞2m+mt²對任意實數(shù)t恒成立，
即mt²+4t+2m＜0對任意實數(shù)t恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{16-4m•2m＜0}\end{array}\right.$，解得：m＜-$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，將不等式f（-4t）＞f（2m+mt²）對任意實數(shù)t恒成立轉(zhuǎn)化為-4t＞2m+mt²對任意實數(shù)t恒成立是關(guān)鍵，考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于難題．