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15.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x+3,g(x)=3x-1.
(1)解關(guān)于x的不等式fxgx≥1;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得|af(x)-x|≤1成立的充分條件是1≤x≤2,若存在求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)題意列出不等式,解不等式即可;
(2)結(jié)合已知條件得到x1fx<a<1+xfx恒成立.由于當(dāng)1≤x≤2時(shí),f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2的最大值為3,最小值為2,將其代入可以求得a的取值范圍.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=x2-2x+3,g(x)=3x-1.
∴由fxgx≥1得到:x22x+33x1≥1.
x25x+43x1≥0,
{x25x+403x10,
解得13<x≤1或x≥4;
{x25x+403x10,
該方程組無(wú)解.
綜上所述,x的取值范圍是:(13,1]∪[4,+∞).
(2)依題意知:當(dāng)1≤x≤2時(shí),|af(x)-x|≤1恒成立,
所以當(dāng)1≤x≤2時(shí),-1≤af(x)-x≤1恒成立,
x1fx<a<1+xfx恒成立
由于當(dāng)1≤x≤2時(shí),f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2的最大值為3,最小值為2,
因此0<a<32,
即0<a<32,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍(0,32).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),必要條件、充分條件與充要條件.解答該題時(shí),需要熟悉絕對(duì)值不等式的解答方法,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.

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