Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，a≠1）
（1）求定義域．
（2）判斷奇偶性并證明．
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域上是

 

（填增減性，不必說(shuō)明理由．）
（4）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，a≠1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念可得；

1+x

1-x

＞0，解不等式即可的定義域．
（2）利用奇偶性概念判斷，f（-x）與f（x）比較，
（3）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式：log_a

1+x

1-x

＞0，log_a

1+x

1-x

＞log

1 a

，即可求出x的范圍．

解答： 解：（1）由題意知

1+x

1-x

＞0，解得：-1＜x＜1，
故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}．
（2）由（1）知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x，
由f(x)+f(-x)=loga

1+x

1-x

+loga

1-x

1+x

=loga

(1+x)(1-x)

(1-x)(1+x)

=loga1=0
可知：f（-x）=-f（x），
因此該函數(shù)為奇函數(shù)．
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．運(yùn)用單調(diào)性定義證明判斷，主要作差判斷．
（4）證明：任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=loga

1+x1

1-x1

-loga

1+x2

1-x2

=loga

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

因?yàn)?span id="hrjatdb" class="MathJye">

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

-1=

2(x1-x2)

(1-x1)(1+x2)

又-1＜x₁＜x₂＜1，所以

2(x1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0，
因此有

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜1．
又a＞1，所以loga

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
所以當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
（4）f（x）＞0即log_a

1+x

1-x

＞0，log_a

1+x

1-x

，＞log

1 a

，
因?yàn)?＜a＜1，所以由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知0＜

1+x

1-x

＜1，解得-1＜x＜0．
故對(duì)于0＜a＜1，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，融合了函數(shù)奇偶性，單調(diào)性，解不等式等問(wèn)題，難度較大．