已知向量
a
與
a
+
b
的夾角為30°，且|
a
|=
3
，|
b
|=1，求兩向量
a
與
b
的夾角．
考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角
專題：平面向量及應用
分析：設向量
a
，
b
的夾角為θ，想著用上條件向量
a
與
a
+
b
的夾角為30°，所以要求|
a
+
b
|=
4+2
3
cosθ
，所以求
a
•(
a
+
b
)=|
a
||
a
+
b
|cos30°=
a
2+|
a
||
b
|cosθ，所以帶入|
a
+
b
|，|
a
|，|
b
|這三個向量的長度即可建立關于cosθ的方程，解方程即得cosθ，從而求出θ．
解答： 解：設向量
a
，
b
的夾角為θ，則|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
=
3+2
3
cosθ+1
=
4+2
3
cosθ
；
∴
a
•(
a
+
b
)=|
a
||
a
+
b
|cos30°=
3
•
4+2
3
cosθ
•
3
2
=
a
2+
a
•
b
=3+
3
cosθ；
解得cosθ=0，或cosθ=-2
3
（舍去）；
∴θ=90°；
即兩向量
a
，
b
的夾角為90°．
點評：考查向量長度的求法，向量的數(shù)量積的計算公式，向量夾角的概念．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在矩形ABCD中，AD=2AB，點E為AD的中點，則cos∠EBD=（　�。�
A、
3
2
B、
3
3
C、
10
5
D、
3
10
10

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），當a，b∈（-∞，0）時總有
f(a)-f(b)
a-b
＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設l，m，n表示三條直線，α，β表示兩個平面，給出下列四個命題：
①若l∥m，l⊥α，則m⊥α；
②若m⊆β，n是l在β內的射影，m⊥l，則m⊥n；
③若l⊥α，α⊥β，則l∥β；
④若l⊥α，α∥β，m?β，則l⊥m．
其中真命題為（　　）
A、①②④B、①②③
C、①③D、①②③④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin（π-x）•cosx+sin2x-cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調區(qū)間．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后，得到的圖象關于原點對稱，求實數(shù)m的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos2x+
3
sinxcosx-
1
2
．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間；
（2）若f（a）=
4
5
，f（β+
π
6
）=
12
13
，且-
π
12
＜a＜
π
6
，-
π
4
＜β＜0，求f（α+β）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=loga
1+x
1-x
（a＞0，a≠1）
（1）求定義域．
（2）判斷奇偶性并證明．
（3）當a＞1時，函數(shù)f（x）在定義域上是
 
（填增減性，不必說明理由．）
（4）當0＜a＜1時，求使f（x）＞0的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

二次函數(shù)y=mx2-mx+4的值域為[0，+∞），則實數(shù)m的取值集合為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3和a4成等比數(shù)列，則a1可以等于（　�。�
A、-4B、-6C、-8D、-10

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