Question

已知定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），當(dāng)a，b∈（-∞，0）時(shí)總有

f(a)-f(b)

a-b

＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可先通過(guò)函數(shù)是偶函數(shù)將原不等式中的函數(shù)自變量轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性研究，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)自變量的大小比較，解不等式，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)，且f（-x）=f（x）=f（|x|）．
∵當(dāng)a，b∈（-∞，0）時(shí)總有

f(a)-f(b)

a-b

＞0（a≠b），
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∵f（m+1）＞f（2m），
∴f（|m+1|）＞f（|2m|），
∴0＜|m+1|＜|2m|，
∴4m²＞（m+1）²＞0，
∴

(m-1)(3m+1)＞0 m≠-1

，
∴m＜-1或-1＜m＜-

1

3

或m＞1．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞，-1)∪(-1，-

1

3

)∪(1，+∞)．
故答案為：(-∞，-1)∪(-1，-

1

3

)∪(1，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的定義域、不等式的解法，還考查了化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，本題有一定的綜合性，屬于中檔題．