Question

下列命題：
（1）p：?x∈R，tanx=1，q：?x∈R，x²-x+1＞0，則p∧?q為假；
（2）設(shè)直線l₁：ax+3y-1=0；l₂：x+by+1=0，則l₁⊥l₂的充要條件是

a

b

=-3；
（3）若sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，則tanα=5tanβ．
其中正確的有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）依題意，可判斷p與q均正確，從而可得p∧?q為假；
（2）依題意知l₁⊥l₂的充要條件是a×1+3b=0，當(dāng)b=0時(shí)，

a

b

無意義，從而可判斷（2）的正誤；
（3）利用兩角和與差的正弦可求得tanα=5tanβ，從而可判斷（3）的正誤．

解答： 解：（1）p：?x∈R，tanx=1，正確；
q：?x∈R，x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

＞0，正確，
則p∧?q為假，正確；
（2）設(shè)直線l₁：ax+3y-1=0；l₂：x+by+1=0，則l₁⊥l₂的充要條件是a×1+3b=0，當(dāng)b=0時(shí)，

a

b

無意義，故（2）錯(cuò)誤；
（3）∵sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，
∴sinαcosβ+cosαsinβ=

1

2

，sinαcosβ-cosαsinβ=

1

3

，
解得tanα=5tanβ，故（3）正確．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查命題的關(guān)系及充分必要條件的概念及兩角和與差的正弦，屬于中檔題．