Question

A．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，弧AB=弧AD，過(guò)A點(diǎn)的切線交CB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．
求證：AB²=BE•CD．
B．已知矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換把點(diǎn)A（x，y）變成點(diǎn)A′（13，5），試求M的逆矩陣及點(diǎn)A的坐標(biāo)．
C．已知圓的極坐標(biāo)方程為：．
（1）將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D．解不等式|2x-1|＜|x|+1．

Answer 1

【答案】分析：A：連接AC．因?yàn)镋A切⊙O于A，所以∠EAB=∠ACB．因?yàn)榛�AB=弧AD，所以AB=AD．∠EAB=∠ACD．由題設(shè)條件推導(dǎo)出△ABE∽△CDA，從而證明出AB²=BE•CD．
B：依題意得由，得|M|=1，故，再由矩陣方程能求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
C：（1）ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，轉(zhuǎn)換得x²+y²-4x-4y+6=0．
（2）圓的參數(shù)方程為，由此能求出x+y的最大值和最小值．
D：當(dāng)x＜0時(shí)，x不存在；當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)，解得，由此能得到原不等式的解集．
解答：A 證明：連接AC．
因?yàn)镋A切⊙O于A，所以∠EAB=∠ACB．
因?yàn)榛�AB=弧AD，所以∠ACD=∠ACB，AB=AD．
于是∠EAB=∠ACD．
又四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，所以∠ABE=∠D．
所以△ABE∽△CDA．
于是，即AB•DA=BE•CD
所以AB²=BE•CD．

B 解：依題意得
由，得|M|=1，故，
從而由得
故即A（2，-3）為所求．

C 解：（1）ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，轉(zhuǎn)換得x²+y²-4x-4y+6=0．
（2）圓的參數(shù)方程為（α∈R），
所以，那么x+y的最大值為6，最小值為2．

D 解：當(dāng)x＜0時(shí)，原不等式可化為-2x+1＜-x+1，解得x＞0
又∵x＜0，∴x不存在；
當(dāng)0≤x＜時(shí)，原不等式可化為-2x+1＜x+1，解得x＞0
又∵0≤x＜，∴0＜x＜；當(dāng)x≥，∴≤x＜2
綜上，原不等式的解集為{x|0＜x＜2}．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二階行列式、圓的性質(zhì)、極坐標(biāo)和含絕對(duì)值的不等式，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．