【題目】在四棱錐中，底面為平行四邊形， ， ， ， 點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在線段上，且， ， 為的中點(diǎn)， 在線段上，且．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)平面與平面所成的二面角的正弦值為時(shí)，求四棱錐的體積．

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）接，作交于點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，在中由余弦定理得，由勾股定理可得，在中， ， 分別是， 的中點(diǎn)，結(jié)合中位線及平行的傳遞性可得，故可得平面，由線面平行判定定理可得結(jié)論；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量與二面角平面角之間關(guān)系可得： ，由棱錐的體積公式可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）證明：連接，作交于點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，

，在中， ， ， ，由余弦定理得．　

所以，從而有.

在中， ， 分別是， 的中點(diǎn)，

則， ，

因?yàn)?/span>，所以.

由平面， 平面，

得，又， ，

得平面，又平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， ， .

平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面的法向量為，

由， ，得令，得.

由題意可得， ，

解得，

所以四棱錐的體積.

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（1）使|PA|+|PB|最��；
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(I)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率；

(II)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，記表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)將頻率視為概率，現(xiàn)從學(xué)生群體中隨機(jī)抽取4名學(xué)生，記其中恰好選考物理、化學(xué)、生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作，求事件“”的概率.

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【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（ ），它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為（x0 ， 3），（x0+2π，﹣3）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）該函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？
（3）求這個(gè)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱(chēng)中心．

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【題目】定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）= ，且f（x）在[﹣3，﹣2]上是減函數(shù)，若α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則（ ）
A.f（sinα）＞f（sinβ）
B.f（cosα）＞f（cosβ）
C.f（sinα）＞f（cosβ）
D.f（sinα）＜f（cosβ）

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休閑方式
性別

看電視

看書(shū)

合計(jì)

男

10

50

60

女

10

10

20

合計(jì)

20

60

80


（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為“在20：00﹣22：00時(shí)間段居民的休閑方式與性別有關(guān)系”？
（2）將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查3名在該社區(qū)的男性，設(shè)調(diào)查的3人在這一時(shí)間段以看書(shū)為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量X．求X的數(shù)學(xué)期望和方差．

P（X2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

附：X2= ．

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