Question

【題目】已知數(shù)列中，函數(shù)．

（1）若正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，試求出， ， ，由此歸納出通項(xiàng)，并加以證明；

（2）若正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足（n∈N*），數(shù)列的前項(xiàng)和為Tn，且，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）證明詳見(jiàn)解析.

【解析】試題（1）由遞推公式依次可求得，用數(shù)學(xué)歸納法的要求證明即可；也可把遞推公式變形為，則數(shù)列是等比數(shù)列；（2）要與（1）進(jìn)行聯(lián)系，首選函數(shù)，因此在上是增函數(shù)，可妨（1）進(jìn)行歸納， ， ， ，…，也可把變形為，由累乘法得： ，從而得，即，最終有

，這樣可用裂項(xiàng)相消法求出（放縮后），證得結(jié)論．

試題解析：（1）依題意，， ，

，由此歸納得出： ；

證明如下：

∵，∴，∴，

∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，

∴，∴；

（2）∵（n∈N*），∴，∴，

累乘得： ，∴，即，∴，

∵，

∴ ．