Question

18．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，$a=2\sqrt{2}$，${sinC}=\sqrt{2}sinA$．
（Ⅰ）求邊c的值；
（Ⅱ） 若$cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化簡已知的式子，由條件求出c的值；
（Ⅱ）由條件和余弦定理列出方程，化簡后求出b的值，由平方關系求出sinC的值，代入三角形的面積公式求出答案．

解答 解：（Ⅰ）因為a=$\sqrt{2}$，$sinC=\sqrt{2}sinA$，
所以由正弦定理得c=$\sqrt{2}$a=4…（4分）
（Ⅱ）因為c=4，$cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
所以由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
則$16=8+{b^2}-2×2\sqrt{2}×b×\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
化簡，b²-2b-8=0，解得b=4或b=-2（舍去），
由$cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$得，$sinC=\sqrt{1-co{s}^{2}C}=\frac{\sqrt{14}}{4}$，
所以△ABC面積$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×4×\frac{{\sqrt{14}}}{4}=2\sqrt{7}$ …（10分）

點評 本題考查正弦定理、余弦定理，平方關系，以及三角形面積公式的應用，屬于中檔題．