Question

已知橢圓C：x²+2y²=4．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（t，2）（t∈R），點(diǎn)B在橢圓C上，若OA⊥OB，求線段AB長度的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出幾何量a、b、c即可求橢圓C的離心率；
（2）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（t，2），（x₀，y₀），其中x₀≠0，通過OA⊥OB，推出t=-

2y0

x0

，然后求出|AB|的表達(dá)式利用基本不等式即可求解線段AB長度的最小值．

解答： （本小題滿分16分）
解：（1）由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

2

=1．（2分）
所以a²=4，b²=2，從而c²=a²-b²=2．（3分）
因此a=2，c=

2

．（4分）
故橢圓C的離心率e=

c

a

=

2

2

．（6分）
（2）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（t，2），（x₀，y₀），其中x₀≠0．（8分）
因?yàn)镺A⊥OB，
所以tx₀+2y₀=0
解得t=-

2y0

x0

．（10分）
又x₀²+2y₀²=4，∴y₀²=

4-x02

2

（12分）
所以|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²=（x₀+

2y0

x0

）²+（y₀-2）²
=x₀²+y₀²+

4y02

x02

+4=x₀²+

4-x02

2

+

2(4-x02)

x02

+4
=

x02

2

+

8

x02

+4（0＜x₀²≤4）．（14分）
因?yàn)?＜x₀²≤4，所以

x02

2

+

8

x02

≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x₀²=4時(shí)等號(hào)成立，所以|AB|²≥8．
故線段AB長度的最小值為2

2

．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．