Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，E為CD邊中點，且AE⊥CD，又G，F(xiàn)分別為DA，EC的中點，將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC．
（1）求證：AE⊥平面CDE；
（2）求證：FG∥平面BCD；
（3）在線段DC上找一點R，使得平面AER⊥平面DCB，并說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得DE⊥AE，AE⊥EC．根據(jù)線面垂直的判定定理，我們可得AE⊥平面CDE；
（2）取AB中點H，連接GH，F(xiàn)H，由三角形中位線定理，我們易得到GH∥BD，F(xiàn)H∥BC，由面面平行的判定定理得到面FHG∥面BCD，再由面面平行的定義，得到FG∥平面BCD；
（3）取線段DC中點R，則平面AER⊥平面DCB，根據(jù)線面垂直判定定理，及面面垂直判定定理，得到結(jié)論．

解答： 證明：（1）由已知得DE⊥AE，AE⊥EC．
∵DE∩EC=E，DE、EC?平面DCE．…（2分）
∴AE⊥平面CDE．…（4分）
（1）取AB中點H，連接GH，F(xiàn)H，
∴GH∥BD，F(xiàn)H∥BC，
∴GH∥面BCD，F(xiàn)H∥面BCD．
∴面FHG∥面BCD，∵GF?面FHG
∴GF∥平面BCD．…（8分）
（3）取線段DC中點R，則平面AER⊥平面DCB
∵在△DEC中，DE=EC，R為DC中點
∴ER⊥DC …（9分）
∵AE⊥平面CDE，DC?平面DCE
∴AE⊥DC…（10分）
又ER∩AE=E，AE、ER?平面AER．
∴DC⊥平面AER…（11分）
∵DC?平面DCB
∴平面AER⊥平面DCB
即 取DC中點R時，有平面AER⊥平面DCB …（12分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面之間平行及垂直的判定定理、性質(zhì)定理、定義、幾何特征是解答此類問題的關(guān)鍵．