橢圓的中心在原點(diǎn),它的短軸長(zhǎng)是2
2
,一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0)(c>0),直線l:x=
a2
c
與x軸相交于點(diǎn)A,|OF|=2|FA|,過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P,Q兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及離心率;
(2)若
OP•
OQ
=0,求直線PQ的方程.
考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,直線的一般式方程
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)由已知得b=
2
,A(
a2
c
,0)
,由此能求出橢圓方程.
(2)設(shè)PQ與橢圓交于P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ方程為y=k(x-3),把y=k(x-3)代入x2+3y2-6=0,x2+3k2(x-3)2-6=0,由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線PQ的方程.
解答: 解:(1)∵橢圓的中心在原點(diǎn),它的短軸長(zhǎng)是2
2
,一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0)(c>0),直線l:x=
a2
c
與x軸相交于點(diǎn)A,
b=
2
,A(
a2
c
,0)
,(1分)
∵|OF|=2|FA|,∴c=2(
a2
c
-c)
,
即c2=2b2,∴c2=4,(2分),
∴a2=6,∴橢圓方程為
x2
6
+
y2
2
=1,e=
c
a
=
6
3
.(4分)
(2)設(shè)PQ與橢圓交于P(x1,y1),Q(x2,y2),
PQ方程為y=k(x-3),(6分),
OP
OQ
=0
,∴OP⊥OQ,(7分)
y1
x1
y2
x2
=-1
,
把y=k(x-3)代入x2+3y2-6=0,x2+3k2(x-3)2-6=0,(8分)
(1+3k2)x2-18k2x+27k2-6=0,
x1+x2=
18k2
1+3k2
x1x2=
27k2-6
1+3k2
,(9分)
k(x1-3)•k(x2-3)=-x1x2
k2(
27k2-6
1+3k2
-3
18k2
1+3k2
+9)=-
27k2-6
1+3k2
k2
27k2-6-54k2+27k2+9
1+3k2
=
6-27k2
1+3k2
,
3k2=6-27k2,(11分)
解得k2=
1
5
,∴k=±
5
5
,(12分)
∴直線PQ的方程為y=±
5
5
(x-3)
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程及離心率的求法,考查直線方程的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

橢圓
x2
36
+
y2
100
=1
上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)是
 

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設(shè)函數(shù)f是定義在正整數(shù)有序?qū)Φ募仙,并滿足:
①f(x,x)=x;
②f(x,y)=f(y,x);
③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y);
則f(12,16)+f(16,12)的值是(  )
A、24B、48C、64D、96

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)y=cos
x
3
的最小正周期是(  )
A、6π
B、3π
C、2π
D、
π
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)雙曲線y2-x2=8的焦點(diǎn),離心率為
3
5

(1)求C的方程;  
(2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為
4
5
的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo).

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點(diǎn)M、N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1的中點(diǎn),用過(guò)平面AMN和平面DNC1的兩個(gè)截面截去正方體的兩個(gè)角后得到的幾何體如下圖,則該幾何體的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖依次為( 。
A、①、②、③
B、②、③、④
C、①、③、④
D、②、④、③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

無(wú)窮等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)與公比分別是復(fù)數(shù)
1
1-i
(i是虛數(shù)單位)的實(shí)部與虛部,則數(shù)列{an}的各項(xiàng)和的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

一盒子中有大小和形狀相同的12個(gè)小球,其中5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)綠球,現(xiàn)從中任一球,則取到的球?yàn)榧t球或黑球的概率(  )
A、
5
36
B、
5
12
C、
1
3
D、
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)M=N=[0,2],給出下列四個(gè)圖形中,其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是( 。
A、
B、
C、
D、

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