Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-2x（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x²＜e^x；
（3）證明：對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在x₀，使得當(dāng)x（x₀，+∞）恒有x²＜ce^x．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)等于0，求出函數(shù)的極值；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x-x²，求出導(dǎo)數(shù)，利用（1）的結(jié)論得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，
判斷g（x）的單調(diào)性，從而得出結(jié)論；
（3）令x₀=

1

c

，利用（2）的結(jié)論，得e^x＞x²＞

1

c

x，即證結(jié)論成立．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=e^x-2x（x∈R），
∴f′（x）=e^x-2；
令f′（x）=0，即e^x-2=0，
解得x=ln2，
∴函數(shù)f（x）的極值是
f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-2ln2；
（2）證明：設(shè)函數(shù)g（x）=e^x-x²，
∴g′（x）=e^x-2x；
由（1）知f（x）=e^x-2x在x=ln2取得極小值，
∴g′（x）≥f（ln2）=e^ln2-ln2=2-ln2＞0，
∴g（x）是R上的增函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）=1＞0，
∴e^x＞x²，即x²＜e^x；
（3）對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x₀=

1

c

＞0．
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，由（2）得e^x＞x²＞

1

c

x，即x²＜ce^x．
∴對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x₀，使得當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，恒有x＜ce^x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查運(yùn)算求解能力以及邏輯推理能力，考查了函數(shù)與方程思想的應(yīng)用問(wèn)題，是難題目．