Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）=

1

2

a_n•x²+（2^-n-a_n+1）•x取得極值．
（1）若b_n=2^n-1•a_n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）試證明：n＞3（n∈N^*）時(shí)，S_n＞

4n

n+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，由極值的定義，得f′（

1

2

）=0，得a_n+1=

1

2

a_n+2^-n，由b_n=2^n-1•a_n，則b_n+1-b_n=1，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到；
（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，注意解題步驟，運(yùn)用等比數(shù)列求和公式即可得到；
（3）運(yùn)用二項(xiàng)式定理，展開2ⁿ=（1+1）ⁿ，即可得證．

解答： （1）解：f′（x）=a_nx+2^-n-a_n+1，
由題意得f′（

1

2

）=0，得a_n+1=

1

2

a_n+2^-n，
由a_n+1=

1

2

a_n+2^-n，得2ⁿa_n+1-2^n-1•a_n=1，
由b_n=2^n-1•a_n，則b_n+1-b_n=1，
則數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=b₁+（n-1）×1=1+n-1=n；
（2）解：由（1）得，a_n=n•2^1-n，
則S_n=1•2^1-1+2×2^1-2+3×2^1-3+…+（n-1）×2^1-（n-1）+n•2^1-n，
2S_n=1×2+2×2^1-1+3×2^1-2+…+n•2^2-n，
兩式相減得，S_n=1×2+1×2^1-1+1×2^1-2+1×2^1-3+…+1×2^1-（n-1）-n•2^1-n
=

2(1-2-n)

1-2-1

-n•2^1-n=4-

4+2n

2n

；
（3）證明：由S_n=4-

4+2n

2n

=4-

4+2n

(1+1)n

=4-

4+2n

1+n+ n(n-1) 2 +…+n+1

n＞3時(shí)，S_n＞4-

4+2n

1+n+ n(n-1) 2 +n

=4-

4+2n

(n+1)(n+2) 2

=4-

4

1+n

=

4n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意構(gòu)造數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列求和公式，考查錯(cuò)位相減求和，以及二項(xiàng)式定理用于證明不等式的方法，屬于中檔題和易錯(cuò)題．