Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）|x-a|+b（a，b都是實(shí)數(shù)）．則下列敘述中，正確的序號(hào)是

 

．（請(qǐng)把所有敘述正確的序號(hào)都填上）
①對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)y=f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)；
②存在實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)y=f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)；
③對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)y=f（x）的圖象都是中心對(duì)稱(chēng)圖形；
④存在實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)y=f（x）的圖象都不是中心對(duì)稱(chēng)圖形．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：可先考慮函數(shù)g（x）=x|x|的單調(diào)性和圖象的對(duì)稱(chēng)性，然后考慮將函數(shù)g（x）的圖象左右平移和上下平移，得到
函數(shù)f（x）=（x-a）|x-a|+b的圖象，觀察它的上升還是下降和對(duì)稱(chēng)性．

解答： 解：設(shè)函數(shù)g（x）=x|x|即g（x）=

x2，x≥0 -x2，x＜0

，作出g（x）的圖象，得出g（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
而f（x）=（x-a）|x-a|+b的圖象可由函數(shù)y=g（x）的圖象先向左（a＜0）或向右（a＞0）平移|a|個(gè)單位，
再向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|個(gè)單位得到．
所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，都有f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱(chēng)．
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，注意運(yùn)用圖象的平移不改變函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性，并注意去絕對(duì)值的方法，本題是一道中檔題．