13.設(shè)P是圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上投影,M為線段PD上一點(diǎn),且$|{MD}|=\frac{4}{5}|{PD}|$.
(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為$\frac{4}{5}$的直線交軌跡C于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)F(-3,0),△ABF求的面積.

分析 (1)由題意可知:M的坐標(biāo)為(x,y),P的坐標(biāo)為(x',y'),則$|{MD}|=\frac{4}{5}|{PD}|$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{5}{4}y}\end{array}\right.$,代入x'2+y'2=25,整理得點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線方程,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理可知:x1+x2=3,x1•x2=-8,利用弦長(zhǎng)公式求出丨AB丨,求出點(diǎn)F到AB的距離,即可求△ABF的面積.

解答 解:(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),P的坐標(biāo)為(x',y'),
由$|{MD}|=\frac{4}{5}|{PD}|$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{5}{4}y}\end{array}\right.$,
∵P在圓上,
∴x'2+y'2=25,即x2+($\frac{5}{4}$y)2=25,整理得$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.
(2)直線$AB:y=\frac{4}{5}({x-3})$,代入C的方程,整理得:x2-3x-8=0
∴由韋達(dá)定理可知:x1+x2=3,x1•x2=-8,
∴線段AB的長(zhǎng)度為$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{41}{5}$,
點(diǎn)F到AB的距離為$d=\frac{24}{{\sqrt{41}}}$,故$S=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{{12\sqrt{41}}}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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