Question

（2012•浙江模擬）有六根細木棒，其中較長的兩根分別為

3

a、

2

a，其余四根均為a，用它們搭成三棱錐，則其中兩條較長的棱所在的直線的夾角的余弦值為

6

3

或0

．

Answer 1

分析：當(dāng)較長的兩條棱所在直線相交時，不妨設(shè)AB=

3

a，BC=

2

a，AC=a，可得較長的兩條棱所在直線所成角為∠ABC，再由解三角形的有關(guān)知識得到答案．當(dāng)較長的兩條棱所在直線異面時，不妨設(shè)AB=

3

a，CD=

2

a，則BA=AC=BD=BC=a，取CD的中點為O，連接OA，OB，再由線面垂直的判定定理可得答案．

解答：解：當(dāng)較長的兩條棱所在直線相交時，如圖所示：
不妨設(shè)AB=

3

a，BC=

2

a，AC=a，
所以較長的兩條棱所在直線所成角為∠ABC，
由勾股定理可得：∠ACB=90°，所以cos∠ABC=

BC

AB

=

2 a

3 a

=

6

3

，
所以此時較長的兩條棱所在直線所成角的余弦值為

6

3

．
當(dāng)較長的兩條棱所在直線異面時，
不妨設(shè)AB=

3

a，CD=

2

a，則BC=AC=BD=AD=a，
取CD的中點為O，連接OA，OB，
所以CD⊥OA，CD⊥OB，
所以CD⊥平面ABO，所以CD⊥AB，
所以此時較長的兩條棱所在直線所成角的余弦值為cos90°=0．
故答案為：

6

3

或0．

點評：本題主要考查直線與直線的夾角問題，解決的方法是平移直線或者判定線面垂直，此題屬于中檔題，考查學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力．