Question

【題目】設(shè)為非空實數(shù)集（至少有兩個元素），若對任意，都有，且，則稱為封閉集，則下列四個判斷：

①集合為封閉集，則為無限集； ②集合為封閉集；

③若集合為封閉集，則為封閉集； ④若為封閉集，則一定有；，

其中正確的命題個數(shù)有（ ）.

A.4個B.3個C.2個D.1個

Answer 1

【答案】B

【解析】

①：運用反證法進行判斷即可；

②：運用所給的定義進行判斷即可；

③：結(jié)合②，再舉個封閉集，進行判斷即可；

④：當且，根據(jù)進行判斷即可；

①：假設(shè)封閉集合中有個元素，，設(shè)這個個元素從小到大排列為：

，顯然這個元素必有正數(shù)，如果沒有正數(shù)，那么兩個數(shù)的積就是正數(shù)或零，顯然這是不可能的，故一定有，當時，，顯然，這與集合是封閉集矛盾，故至少有兩個元素封閉集一定是無限集，因此本命題是真命題；

②：設(shè)，所以有，

；

；

，故集合為封閉集，因此本命題是真命題；

③：由②可知：為封閉集，同理也是封閉集，

當時，，所以不是封閉集，因此本命題是假命題；

④：為封閉集，當且時，，因此本命題是真命題.

故選：B