Question

若函數(shù)f（x）滿足f（a+x）+2f（b-x）=2x，則f（x）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用x的任意性，先將a+x用t替換，得到f（t）的表達(dá)式；再將變換后的式子中的a+b-t用m替換，則得到另一個(gè)關(guān)于f（t）的方程，與前一個(gè)聯(lián)立，即可解出f（t），即f（x）解出．

解答： 解：由f（x）滿足f（a+x）+2f（b-x）=2x，
令t=a+x，則x=t-a，代入原式得f（t）+2f（a+b-t）=2t-2a ①
再令m=a+b-t，則t=a+b-m，代入①得f（a+b-m）+2f（m）=2b-2m，
即f（a+b-t）+2f（t）=2b-2t ②
聯(lián)立①②解得
f（t）=

1

3

(2a+4b-6t)，即f（x）=

1

3

(2a+4b-6x)．
故答案為：f（x）=

1

3

(2a+4b-6x)．

點(diǎn)評(píng)：本題較抽象，不好理解；主要抓住解析式中的自變量的任意性進(jìn)行變換，最終變換出關(guān)于f（x）的方程組，據(jù)此解方程求解．