Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0）連線的斜率之積為-，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C

（I）求曲線C的方程；

（II）若過點(diǎn)（-，0）的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，曲線C上是否存在點(diǎn)E使得四邊形OMEN為平行四邊形？若存在，求直線l的方程，若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線C的方程為=1（x≠±2）（II）存在，直線l的方程為.

【解析】

（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，直接把斜率之積為用坐標(biāo)表示出來即可；

（II）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，由題意知直線l的斜率不為零，同時(shí)設(shè)直線l的方程為，，把直線方程代入曲線方程，由韋達(dá)定理得，同時(shí)求得，而平行四邊形存在，則有，從而可得點(diǎn)坐標(biāo)，再代入（I）中所求曲線方程可求得參數(shù)值，說明假設(shè)正確．

解：（Ⅰ）設(shè)P（x,y）,有·=-

得·=-

整理得=1（x≠±2）

∴曲線C的方程為=1（x≠±2）

（II）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)E（）由題意知直線l的斜率不為零

設(shè)直線l的方程為x=my-

點(diǎn)M坐標(biāo)為（）、點(diǎn)N坐標(biāo)為（）

由得：（+2）-2my-2=0,△>0

∴+

則+=-

由四邊形OMEN為平行四邊形，得到

∴E（-）

把點(diǎn)E坐標(biāo)代入曲線C的方程得：-4=0，解得

∴直線l的方程為