Question

試用綜合法或分析法證明：已知a＞b＞c，求證：

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）

專題：證明題

分析：證法一：（分析法）從結(jié)論入手，為了證明

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0，逐步分析使結(jié)論成立的充分條件，直到條件具備即可；
證法二：（綜合法）從已知入手，利用不等式的性質(zhì)，由a＞b＞c⇒a-c＞a-b＞0，b-c＞0⇒

1

a-b

＞

1

a-c

，

1

b-c

＞0，再進(jìn)一步即可證得結(jié)論成立．

解答： 證法一：（分析法）
為了證明

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0，
只需要證明

1

a-b

+

1

b-c

＞

1

a-c

，…（2分）
∵a＞b＞，c∴a-c＞a-b＞0，b-c＞0，…（4分）
∴

1

a-b

＞

1

a-c

，

1

b-c

＞0．…（8分）
∴

1

a-b

+

1

b-c

＞

1

a-c

成立．…（10分）
∴

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0成立．…（12分）
證法二：（綜合法）
∵a＞b＞c，
∴a-c＞a-b＞0，b-c＞0．
∴

1

a-b

＞

1

a-c

，

1

b-c

＞0．
∴

1

a-b

+

1

b-c

＞

1

a-c

．
∴

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0．（類比給分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，著重考查綜合法與分析法的應(yīng)用，熟練地掌握綜合法與分析法是關(guān)鍵，考查推理證明能力，屬于中檔題．