Question

10．已知函數(shù)f（x）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$
（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）若f（3m+1）＜f（m），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）為奇函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和奇偶性的定義，可得答案．
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”的原則，可得f（x）在定義域（-1，1）上是減函數(shù)，則f（3m+1）＜f（m）可化為：-1＜m＜3m+1＜1，解得答案．

解答 解：（1）f（x）為奇函數(shù)，-----------------------（1分）
證明如下：
因?yàn)�，定義域?yàn)椋?1，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱---------------------（3分）
f（-x）=${log}_{2}\frac{1+x}{1-x}$，
∴f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），
故f（x）為奇函數(shù)-----------------（6分）
（2）令u=$\frac{1-x}{1+x}$=$\frac{2}{1+x}$-1為（-1，1）上的減函數(shù)，--------------------（8分）
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知f（x）在定義域（-1，1）上是減函數(shù)，---------------（9分）
所以f（3m+1）＜f（m）可化為：-1＜m＜3m+1＜1，
解得：$-\frac{1}{2}$＜m＜0------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．