Question

某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝－48x＋8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．

(1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；

(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

解： (1)每噸平均成本為(萬(wàn)元)．則（方法一）＝＋－48，----2分

設(shè)，，

令=0，得x＝200（舍去負(fù)值），----4分

時(shí)，，時(shí)，，

在x＝200處取得極小值也是最小值--------5分

∴年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸平均成本最低為32萬(wàn)元．------6分

（方法二）

＝＋－48≥2 －48＝32，-------4分

當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝200時(shí)取等號(hào)．---------5分

∴年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸平均成本最低為32萬(wàn)元．------6分

(2)設(shè)年獲得總利潤(rùn)為R(x)萬(wàn)元，

則R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000

＝－＋88x－8 000＝－(x－220)²＋1 680(0≤x≤210)．------9分

∵R(x)在[0,210]上是增函數(shù)，∴x＝210時(shí)，R(x)有最大值為

－(210－220)²＋1 680＝1 660.--------11分

∴年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)1 660萬(wàn)元．-----12分